\section{Dirichlet 特征}

\begin{frame}{Dirichlet 特征}
我们已熟悉整数模 $m$ 同余类集
\[
\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{m-1}\}
\]
是一个环，其乘法可逆元(单位)集合为
\[
G_{m}=(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{*}=\{\bar{a} \mid(a, m)=1, \quad 1 \leqslant a<m\},
\]
构成一个乘法群， 阶为 $\varphi(m)$ (\S 2.2-\S 2.3,  $\varphi$ 为 Euler 函数).

设映射
\(
\chi: G_{m} \rightarrow \mathbb{C}^{*}
\)
是乘法群的一个同态， 即满足
\[
\chi(\bar{a} \bar{b})=\chi(\bar{a}) \chi(\bar{b}) \quad \text {(对任意 $\bar{a}, \bar{b} \in G_{m}$), }
\]
则称 $\chi$ 为\emph{模 $m$ 的 Dirichlet 特征} (Dirichlet character), 简称 \emph{D-特征}， 或\emph{群 $G_{m}$的特征}。

通过复合上标准映射$\ZZ\rightarrow \ZZ/m\ZZ$, 可将模 $m$ 特征 $\chi$ 看做 $\mathbb{Z}$ 到复数集 $\mathbb{C}$ 的一个映射， 也就是说，对任意整数 $a, k$, 定义
\[
  \chi(a+mk)=\chi(\bar{a}).
\]
此时我们有
\[
  \chi(a b)=\chi(a) \chi(b), 
\quad
\chi(b)=0 \text{~当且仅当~} (b, m) \neq 1.
\]
故模 $m$ 特征 $\chi$ 即是周期为 $m$ 的积性数论函数， 取值为复数。 约定 $\chi$ 在与 $m$ 不互素的整数上取值为 $0$, 只是为了使用时说话方便。
\end{frame}

\begin{frame}


由定义易知， $\chi(1)=\chi(\overline{1})=1$, 这由 $\chi(1 \cdot 1)=\chi(1) \cdot \chi(1)$ 消去 $\chi(1)$ 即知。 由
\[
\chi(a b)=\chi(a) \chi(b)
\]
也可知 $\chi\left(a^{k}\right)=\chi(a)^{k}, \chi\left(a^{-1}\right)=\chi(a)^{-1}$.

令 $\chi_{0}(\bar{a})=1$ (当 $(a, m)=1$)及 $\chi_{0}(\bar{a})=0$ (当 $(a, m) \geqslant 2$), 则 $\chi_{0}$ 是模 $m$ 的 $\mathrm{D}$-特征， 称为\emph{主特征} (principal character), 也记 $\chi_{0}$ 为 $1$.
当 $m=1$ 时， 约定模 $1$ 只有特征 $\chi_{0}$, 定义为 $\chi_{0}(a)=1$ 对任意 $a$ 成立 (也称为\emph{平凡特征}， 也是模 $1$ 的主特征). 依 $\chi(-1)=1$ 或 $-1$, 分别称 $\chi$ 为\emph{偶特征}或\emph{奇特征}。


由 Euler 定理知， 任意 $\bar{a} \in G_{m}$ 满足 $\bar{a}^{\varphi(m)}=\overline{1}$, 故对任意特征 $\chi \in \hat{G}_{m}$ 有
\[
\chi(\bar{a})^{\varphi(m)}=\chi\left(\bar{a}^{\varphi(m)}\right)=\chi(\overline{1})=1
\]
这说明 $G_{m}$ 的特征 $\chi$ 的取值 $\chi(\bar{a})$ 都是 $\varphi(m)$ 次单位根。 特别知， $|\chi(\bar{a})|=1$.

模 $m$ 特征全体记为 $\hat{G}_{m}$ 是一个乘法群 (称为 $G_{m}$ 的\emph{对偶群}， dual group),乘法运算定义为
\[
\left(\chi \chi^{\prime}\right)(a)=\chi(a) \cdot \chi^{\prime}(a)
\]
$\chi_{0}$ 是其乘法单位元， $\chi$ 的逆 $\chi^{-1}$ 满足 
\[
  \left(\chi^{-1}\right)(a)=\chi(a)^{-1}=\overline{\chi(a)}=\bar{\chi}(a).
\]
特征 $\chi$ 的\emph{复共轭} $\bar{\chi}$ 定义为 $\bar{\chi}(a)=\overline{\chi(a)}$, 显然 $\bar{\chi}=\chi^{-1}$.
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}%例1
(1) 当 $m=2$ 时， $G_{2}=(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})^{*}=\{\overline{1}\}$, 故模 $2$ 只有主特征 $\chi_{0}$.

(2) $G_{3}=\{\overline{1}, \overline{2}\}$, 除主特征 $\chi_{0}$ 之外， 令 $\chi_{1}(\overline{2})=-1$, 则 $\chi_{1}$ 为特征。

(3) $G_{4}=\{\overline{1}, \overline{3}\}$, 除主特征 $\chi_{0}$ 之外， 令 $\chi_{1}(\overline{3})=-1$, 则 $\chi_{1}$ 为特征。

(4) $G_{6}=(\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z})^{*}=\{\overline{1},-\overline{1}\}, \hat{G}_{6}=\{1, \chi\}, \chi(-\overline{1})=-1$.
\end{example}

下面我们先讨论$m=p^s, 2^s$ ($p$为奇素数) 这两种特别情形，然后过渡到一般的情形。

(I) 设 $m=p^{s}$ 为奇素数 $p$ 之幂， 则 $G_{m}=(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{*}$ 是循环群， 阶为
\(
  \varphi(m)=(p-1) p^{s-1},
\)
 即
\[
G_{m}=\langle\bar{g}\rangle=\left\{1, \bar{g}, \bar{g}^{2}, \cdots, \bar{g}^{\varphi(m)-1}\right\}
\]
(其中 $g$ 是原根， 见 \S3.2)。
因为 $\bar{g}^{\varphi(m)}=\overline{1}$, 故任一特征 $\chi \in \hat{G}_{m}$ 必满足
\[
\chi(\bar{g})^{\varphi(m)}=\chi\left(\bar{g}^{\varphi(m)}\right)=\chi(\overline{1})=1 .
\]
故 $\chi(\bar{g})$ 是 $\varphi(m)$ 次复单位根， 即 $\chi(\bar{g})=\zeta^{j}$ (对某 $j=0,1, \cdots, \varphi(m)-1$, 其中 $\zeta=\zeta_{\varphi(m)}=\mathrm{e}^{2 \pi i / \varphi(m)}$ 是 $\varphi(m)$ 次本原复单位根). 
另一方面， 令
\[
\chi_{j}(\bar{g})=\zeta^{j}, \quad \chi_{j}\left(\bar{g}^{i}\right)=\chi_{j}(\bar{g})^{i}=\zeta^{i j}
\]
$(j=0,1 \cdots, \varphi(m)-1)$, 我们就得到特征 $\chi_{0}, \cdots, \chi_{\varphi(m)-1}$.
因此， 这 $\varphi(m)$ 个特征恰好就是 $G_{p^{s}}$ 的全部特征。 记 $\chi_{1}=\rho_{p^{s}}$, 显然 $\chi_{j}=\rho_{p^{*}}^{j}$. 故 $m=p^{s}$ 时， $G_{p^{s}}$ 的特征群 $\hat{G}_{p^{s}}=\left\langle\chi_{1}\right\rangle$ 是循环群， 由 $\chi_{1}$ 生成。 特别知道有群同构 $G_{p^{s}} \cong \hat{G}_{p^{s}}$, 因为二者都是 $\varphi(m)$ 阶循环群。
\end{frame}

\begin{frame}



\begin{example}%例2
$G_{5}=(\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z})^{*}=\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}\}=\left\{\overline{2}^{0}, \overline{2}^{2}, \overline{2}^{3}, \overline{2}^{4}\right\}, \zeta_{4}=\mathrm{i}=\sqrt{-1}$,故 $4$ 个特征分别为 \[
  \chi_{0}(\overline{2})=1, \chi_{1}(\overline{2})=\mathrm{i}, \chi_{2}(\overline{2})=\mathrm{i}^{2}=-1, \chi_{3}(\overline{2})=\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}.
\]
$\hat{G}_{5}=\left\langle\chi_{1}\right\rangle$.
\end{example}


(II) 再设 $m=2^{s}$. $\varphi(m)=2^{s-1}$. 若 $s=1$ 则显然仅有主特征 $\chi_{0}$. 若 $s=2$ 则 $\hat{G}_{4}=\left\{\chi_{0}, \chi_{1}\right\}$ 如上所述。 若 $s \geqslant 3$, 则由 $\S 3.3$ 知
\[
G_{2^{s}}=\left(\mathbb{Z} / 2^{s} \mathbb{Z}\right)^{*}=\langle-\overline{1}\rangle \times\langle\overline{5}\rangle,
\]
其中 $\langle-\overline{1}\rangle=\{\overline{1},-\overline{1}\}$ 是 2 阶子群， $\langle\overline{5}\rangle$ 的阶为 $t=2^{s-2}$. 这意味着， 任意 $\bar{a} \in G_{2^s}$ 可写为
\[
\bar{a}=(-\overline{1})^{\delta}(\overline{5})^{i} \quad(\delta=0,1 ; i=0, \cdots, t-1)
\]
于是 $\chi(\bar{a})=\chi(-\overline{1})^{\delta} \chi(\overline{5})^{i}$. 因
\[
\chi(-\overline{1})^{2}=\chi\left((-\overline{1})^{2}\right)=\chi(\overline{1})=1
\]
故 $\chi(-\overline{1})= \pm 1$.
因
\[
\chi(\overline{5})^{t}=\chi(\overline{5}^{t})=\chi(\overline{1})=1,
\]
\end{frame}

\begin{frame}



故 $\chi(\overline{5})$ 为 $t$ 次单位根， 必形如 $\zeta_{t}^{i j}$.
令
\[
\chi_{e j}(\bar{a})=\chi_{e j}(-\overline{1})^{\delta} \chi_{e j}(\overline{5})^{i}=(-1)^{\delta e} \zeta_{i}^{e j} \quad(e=0,1 ; j=0, \cdots, t-1)
\]
我们得到 $\varphi(m)$ 模 $m=2^{s}$ 的特征 $\chi_{e j}$ (共 $2 t=\varphi(m)$ 个). 记 $\chi_{10}=\psi, \chi_{01}=\rho_{2 ^s}=\rho$, 即 
\[
  \psi(-1)=-1, \psi(\overline{5})=1 ; \quad \rho(-\overline{1})=1, \rho(\overline{5})=\zeta_{t}.
\]
则 $\chi_{e j}=\psi^{e} \rho^{j}$, 即 $\chi_{e j}(\bar{a})=\psi^{e}(\bar{a}) \cdot \rho^{j}(\bar{a})$ (对任意整数 $a$). 我们得到模 $m=2^{s}$ 的特征群为
\[
\hat{G}_{2^{s}}=\langle\psi\rangle \times\langle\rho\rangle=\left\{1, \rho, \cdots, \rho^{t-1}, \psi, \psi \rho, \cdots, \psi \rho^{t-1}\right\}
\]
显然也有群同构 $G_{2^{s}} \cong \hat{G}_{2^{s}}$, 因为二者都是 $2$ 阶群与 $2^{s-2}$ 阶循环群的直积。

\begin{example}%例3
  $G_{8}=(\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z})^{*}=\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\}=\langle-\overline{1}\rangle \times\langle\overline{5}\rangle, \hat{G}_{8}=\langle\psi, \rho\rangle=\{1, \rho$, $\psi, \psi \rho\}$. 因 $\zeta_{t}=\zeta_{2}=-1,$ $\{ \pm 1, \pm 5\} \equiv\{1,7,5,3\}\left(\mod 8\right)$, 故有下表：
\begin{center}
  \begin{tabular}{c|c|c|c|c}
  \hline
 & 1 & 3 & 5 & 7 \\
 \hline
 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 \hline
 $\rho$ & 1 & -1 & -1 & 1 \\
 \hline
 $\psi$ & 1 & -1 & 1 & -1 \\
 \hline
 $\psi \rho$ & 1 & 1 & -1 & -1 \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
\end{example}
 \end{frame}

 \begin{frame}
   \begin{example}%例4
   $G_{16}=(\mathbb{Z} / 16 \mathbb{Z})^{*}=\langle-\overline{1}\rangle \times\langle\overline{5}\rangle, \hat{G}_{16}=\langle\psi, \rho\rangle$, $\zeta_{t}=\zeta_{4}=\mathrm{i}=\sqrt{-1}$, $\rho(5)=\mathrm{i}$. 因 $\pm 1$, $\pm 5$, $\pm 5^{2}$, $\pm 5^{3}$ 分别同余于 $1, 15 ; 5,11 ; 9,7 ; 13,3 \left(\mod 16\right)$, 故有下表
      \[
\begin{tabular}[]{C|C|C|C|C|C|C|C|C}
  \hline
& 1 & 5 & 9 & 13 & 15& 11 & 7  & 3 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\hline
\rho & 1 & i & -1 & -i & 1 & i & -1 & -i\\
\hline
\rho^2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\
\hline
\rho^3 & 1 & -i & -1 & i & 1 & -i & -1 & i\\
\hline
\psi & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\
\hline
\psi\rho & 1 & i & -1 & -i & -1 & -i & 1 & i\\
\hline
\psi\rho^2 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1\\
\hline
\psi\rho^3 & 1 & -i & -1 & i & -1 & i & 1 & -i\\
\hline
\end{tabular}
\]
 \end{example}

 (III) 对一般情形， 任意正整数 $m$ 可分解为
 \[
 m=p_{1}^{s_{1}} p_{2}^{s_{2}} \cdots p_{w}^{s_{w}}=m_{1} \cdots m_{w}
 \]
 其中 $p_{i}$ 为互异素数。 设 $\chi_{p_{i}}$ 是模 $m_{i}=p_{i}^{s_{i}}$ 的特征 (共 $\varphi\left(m_{i}\right)$ 个), 令
 \[
 \chi=\chi_{p_{1}} \chi_{p_{2}} \cdots \chi_{p_{w}}
 \]
 （即 $\chi(a)=\chi_{p_{1}}(a) \cdot \chi_{p_{2}}(a) \cdots \chi_{p_{w}}(a)$, 对任意 $a$), 则 $\chi$ 是模 $m$ 的特征， 个数共
 \[
   \varphi\left(m_{1}\right) \cdots \varphi\left(m_{w}\right)=\varphi(m).
 \]
 \end{frame}

 \begin{frame}
  \begin{remark}%注记1
  由环的直和分解
\(
\mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \cong\left(\mathbb{Z} / m_{1} \mathbb{Z}\right) \oplus \cdots \oplus\left(\mathbb{Z} / m_{w} \mathbb{Z}\right)%,\quad \bar{a} \mapsto\left(\bar{a}, \cdots, \bar{a}\right)
\)
得单位群的直积分解
\[
  G_{m}=G_{m_{1}} \times \cdots \times G_{m_{w}}.
\]
上述讨论表明， 特征群有直积分解
\[
\hat{G}_{m}=\hat{G}_{m_{1}} \times \cdots \times \hat{G}_{m_{w}}
\]
因为 $G_{m_{i}} \cong \hat{G}_{m_{i}}$, 故 $G_{m} \cong \hat{G}_{m}$.
\end{remark}

\begin{remark}%注记2
  更一般的情形， 对任意 Abel 群 $G$, 其特征定义为群同态 $\chi: G \rightarrow \mathbb{C}^{*}$.特征全体记为 $\hat{G}$, 称为 $G$ 的\emph{特征群}。 将群 $G$ 分解为循环群的直积：
 \[
   G=\left\langle g_{1}\right\rangle \times \cdots \times\left\langle g_{w}\right\rangle,
 \]
 则特征群也是直积分解
 \[
   \hat{G}=\widehat{\left\langle g_{1}\right\rangle} \times \cdots \times\widehat{\left\langle g_{w}\right\rangle}.
 \]
 每个循环子群 $\left\langle g_{i}\right\rangle$ 的特征群 $\widehat{\left\langle g_{i}\right\rangle}$ 是与$\pair{g_i}$同构的循环群， 故得群同构 $G \cong \hat{G}$.
\end{remark}

\end{frame}

\begin{frame}{正交关系}

 另一方面， $G$ 也是 $\hat{G}$ 的特征群 (即 $G=\hat{\hat{G}}$) , $a \in G$ 对 $\chi \in \hat{G}$ 的作用规定为
 \[
   a(\chi)=\chi(a)=\langle a, \chi\rangle.
 \]
 对 $G$ 的子群 $H$, 记
 \[
 H^{\perp}=\{\chi \in \hat{G} \mid\langle h, \chi\rangle=1, \forall h \in H\}
 \]
 (称为 $H$ 的\emph{正交补}). 可以证明有\\
 (1) $\left(H^{\perp}\right)^{\perp}=H$,\\
 (2) $H^{\perp}=\widehat{G / H}$,\\
 (3) $\hat{H}=\hat{G} / H^{\perp}$.\\
 (这里用到商群符号， 不熟悉的读者跳过即可).
 
 \begin{theorem}%定理1
   [正交关系， orthogonality relation]
   (1) $\sum_{\bar{a} \in G_{m}} \chi(\bar{a})=\begin{cases}
     0  & \text{若$\chi\neq 1$}\\
     \varphi(m) & \text{若$\chi= 1$}.
   \end{cases}$ 

 (2) $\sum_{\chi \in \widehat{G_{m}}} \chi(\bar{a})=\begin{cases}
   0  & \text{若$\bar{a} \neq \bar{1}$}\\
   \varphi(m) & \text{若$\bar{a}= \bar{1}$}.
 \end{cases}$ 
 \end{theorem}
 \end{frame}

 \begin{frame}

 \begin{proof}
  (1) 对任意 $\bar{b} \in G_{m}$, 有
\[
\chi(\bar{b}) \sum_{\bar{a} \in G_{m}} \chi(\bar{a})=\sum_{\bar{a} \in G_{m}} \chi(\bar{b} \bar{a})=\sum_{\bar{a} \in G_{m}} \chi(\bar{a})
\]
(用到 $\bar{b} G_{m}=G_{m}$, 见 \S3.4 Euler 定理证明). 当 $\chi \neq 1$ 时， 存在 $\bar{b}$ 使 $\chi(\bar{b}) \neq 1$, 得 $\sum_{\bar{a}} \chi(\bar{a})=0$.
当 $\chi=1$ 时显然 $\sum_{\bar{a}} \chi(\bar{a})=\sum_{\bar{a}} 1=\varphi(m)$.

(2) 若 $u=\bar{a} \neq \overline{1}$, 则必有 $\chi^{\prime} \in \hat{G}_{m}$ 使 $\chi^{\prime}(\bar{a}) \neq 1$. 事实上， 设 $m=p_{1}^{s_{1}} p_{1}^{s_{2}} \cdots p_{w}^{s_{w}}=$ $m_{1} \cdots m_{w}$ 及孙子分解如上述， 则 $u=\bar{a} \neq \overline{1}$ 的孙子分解 $\left(\bar{a}_{1}, \cdots, \bar{a}_{w}\right)$ (其中$a_i\equiv a\left( \mod m_i \right)$) 中必有分量 $\bar{a}_{i} \neq \overline{1}$ (因为 $\overline{1} \in G_{m}$ 的孙子分解为 $(\overline{1}, \cdots, \overline{1})$), 
 故有模 $p_{i}^{s_{i}}=m_{i}$ 特征 $\chi_{p_{i}}$ 使 $\chi_{p_{i}}\left(\bar{a}_{i}\right) \neq 1$; 
 取模 $p_{j}^{s_{j}}$ 的特征 $\chi_{p_{j}}=1$ ($j \neq i$ 时), 
 则 $\chi^{\prime}=\chi_{p_{1}} \cdots \chi_{p_{w}}$ 满足
 \[
   \chi^{\prime}(\bar{a})=\chi_{p_{1}}^{\prime}(\bar{a}) \cdots \chi_{p_{w}}^{\prime}(\bar{a})=\chi_{p_{1}}^{\prime}\left(\bar{a}_{1}\right) \cdots \chi_{p_{w}}^{\prime}\left(\bar{a}_{w}\right)=\chi_{p_{i}}^{\prime}\left(\bar{a}_{i}\right) \neq 1.
 \]
 故
 \[
 \chi^{\prime}(u) \sum_{\chi \in \widehat{G_{m}}} \chi(u)=\sum_{\chi \in \widehat{G_{m}}} \chi^{\prime}(u) \chi(u)=\sum_{\chi \in \widehat{G_{m}}}\left(\chi^{\prime} \chi\right)(u)=\sum_{\chi \in \widehat{G_{m}}} \chi(u)
 \]
 (其中 $\chi^{\prime} \hat{G}_{m}=\hat{G}_{m}$ 可如 $\bar{b} G_{m}=G_{m}$ 同样证明), 于是 $\sum_{\chi \in \bar{G}_{m}} \chi(u)=0$. 而当 $u=\overline{1}$, 则显然
 \[
   \sum_{x \in \widehat{G_{m}}} \chi(u)=\sum_{x \in \widehat{G_{m}}} 1=\varphi(m).
 \]
 \end{proof}
 \end{frame}

 \begin{frame}
   \begin{theorem}%定理2
     [正交关系]
     (1)  $\sum_{u \in G_{m}} \chi_{1}(u) \overline{\chi_{2}(u)}=
     \begin{cases}
     0  & \text{若$\chi_1\neq \chi_2$}\\
   \varphi(m) & \text{若$\chi_1=\chi_2$}.
   \end{cases}$

 (2) $\sum_{\chi \in \widehat{G_{m}}} \chi(u) \overline{\chi(v)}=\begin{cases}
     0  & \text{若$u\neq v$}\\
     \varphi(m) & \text{若$u=v$}.
   \end{cases}$
   \end{theorem}

 \begin{proof}
  (1) $\chi_{1}(u) \overline{\chi_{2}(u)}=\chi_{1}(u) \chi_{2}(u)^{-1}=\chi_{1}(u) \chi_{2}^{-1}(u)=\left(\chi_{1} \chi_{2}^{-1}\right)(u)$, 由 定理 1(1) 即得。

(2) $\chi(u) \overline{\chi(v)}=\chi(u) \chi(v)^{-1}=\chi(u) \chi\left(v^{-1}\right)=\chi\left(u v^{-1}\right)$, 
由定理 1(2) 即得。
\end{proof}

我们知道， 模 $m$ 的特征 $\chi$ 是以 $m$ 为周期的数论函数， 但此 $m$ 不一定是 $\chi$的最小周期，且最小周期整除$m$.
%\footnote{设$m, n$为两(正整数)周期，$d=(m,n)$. 有正整数$u, v$使得$um-vn=d$.  那么对任意整数$a$, 正整数$k$, $\chi(a+kd)=\chi(a+kum-kvn)=\chi(a)$.  故$d$亦为正周期。因此最小正周期必整除$m$.}
如果 $m$ 是 $\chi$ 的最小周期， 则称 $\chi$ 是模 $m$ 的\emph{本原 (primitive) 特征}，称 $m$ 为 $\chi$ 的\emph{导子} (conductor), 记为 $f_{X}$ 或 $\operatorname{con}(\chi)$. 详言之， 设整数 $n \mid m$, 则模 $n$ 的任一特征 $\chi_{1}$ 可\emph{诱导出}模 $m$ 的一个特征 $\chi$, 定义为 $\chi(a)=\chi_{1}(a)$ (当 $a$ 与 $m$互素), $\chi(b)=0$ (当 $(b, m) \neq 1$). 如果模 $m$ 特征 $\chi$ 不能由任意模 $n$ 特征诱导得到 ($n \mid m$), 则称 $\chi$ 是模 $m$ 的本原特征， 称 $m$ 为 $\chi$ 的导子。

 例如， 例 1 中模 $6$ 的特征 $\chi$ 不是本原的， 可由模 $3$ 的特征 $\chi_{1}$ 诱导， 其中
 $\chi_{1}(\overline{2})=-1$. 注意 $\chi$ 和 $\chi_{1}$ 在 $\mathbb{Z}$ 上取值不尽相同， 例如 $\chi_{1}(4)=\chi_{1}(1)=1$ 而 $\chi(4)= 0$. 在例 3 中， 模 $8$ 特征 $\psi$ 不是本原的， 是模 $4$ 本原的; 而 $\rho$ 和 $\psi \rho$ 都是模 $8$ 的本原特征。
 \end{frame}

 \begin{frame}
   \begin{remark}%注记3
   [另一种说法)]
   若 $n \mid m$, 则有自然映射 $(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{*} \xrightarrow{\pi}(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$, $\pi(\bar{a})=\bar{\bar{a}}$ (其中 $\bar{a}$ 和 $\bar{\bar{a}}$ 分别为 $a$ 的模 $m$ 和 $n$ 的同余类， 即 $\bar{a}=a+m \mathbb{Z}, \bar{\bar{a}}=a+n \mathbb{Z}$).设 $\chi$ 是模 $n$ 的特征，即 $\chi:(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$ 是同态，则有复合映射 $\hat{\chi}=\chi \pi$:
 \[
   (\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{*} \xrightarrow{\pi}(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*} \xrightarrow{\chi} \mathbb{C}^{*} ,
   \quad
   \bar{a}\mapsto \bar{\bar{a}}\mapsto\chi(\bar{\bar{a}}).
 \]
 这就是说， 模 $n$ 任一特征 $\chi$ 可诱导出模 $m$ 的一个特征 $\hat{\chi}=\chi \pi$.
 %定义为
 %\(
 %  \hat{\chi}(\bar{a})=\chi \pi(\bar{a})=\chi(\bar{\bar{a}}).
 %\)
 进而有群同态$\hat{G}_n\rightarrow \hat{G}_m$. 不在这样的映射的像中 (对任意的$n\mid m$) 的特征就是本原特征。

 设特征 $\chi_{1}$ 和 $\chi_{2}$ 的导子分别为 $f_{1}$ 和 $f_{2}$, 由下式定义 $\chi$:
 \(
   \chi(a)=\chi_{1}(a) \chi_{2}(a),
 \)
 则 $\chi$ 为模 $m=\lcm(f_{1}, f_{2})$ 的特征，
 $\chi$ 决定的本原特征记为 $\chi^{*}=\chi_{1} \chi_{2}$. 
 当 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 互素时， 显然有 $f_{\chi^*}=f_{1} f_{2}$.
 诚然，令$f=f_{\chi*}$, 则$f\mid f_1f_2$. 
   既然$\chi_i$为模$f_i$本原特征，$\chi_i^{-1}$亦为模$f_i$本原特征。
   $\chi_1=\chi\chi_2^{-1}$为模$[f, f_2]$特征表明$f_1\mid [f,f_2]$.
   由于$f_1, f_2$互素，必有$f_1\mid f$.
   类似有$f_2\mid f$. 故$f_1f_2\mid f$.
 进而$f=f_1f_2$.
注意通常$\chi$的导子$f\neq m= [f_1,f_2]$. 例如，例3中模$8$特征$\psi$的导子为$4$,
但$\chi_0=\psi^2$的导子为$2$.
 \end{remark}

  \begin{comment*}%评述
  Dirichlet 特征是重要的数论函数。 其意义之一是定义 $L$-函数， 在下节讨论。 另一方面， $G_{m}=(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{*}$ 实为分圆域 $\mathbb{Q}\left(\zeta_{n}\right)$ 的 Galois 群， 故特征群 $\hat{G}_{m}$与域 $\mathbb{Q}\left(\zeta_{n}\right)$ 关系密切， $\hat{G}_{m}$ 的子群结构与 $\mathbb{Q}\left(\zeta_{n}\right)$ 的子域 (即 Abel 域)的结构关系密切。 这种对偶关系到代数数论和代数函数域中有深入发展。
\end{comment*}
\end{frame}

